Hỏi đáp

Partial Derivative Là Gì ? Nghĩa Của Từ Partial Derivative Trong Tiếng Việt

29 OCT 2017 • 7 mins read

Nói về đạo hàm, như chúng ta học ở lớp 11, 12 thì đạo hàm biểu thị vận tốc thay đổi của hàm. Ví dụ hàm (y=f(x)) mang đạo hàm là (frac{dy}{dx}) để biểu thị tỉ lệ thay đổi của hàm (y) lúc biến đầu vào (input) (x) thay đổi một lượng rất nhỏ (dx). So với đồ thị trên mặt phẳng tọa độ, đạo hàm tại một điểm trên đồ thị bằng độ dốc của đường biểu diễn đồ thị đó. Chính vì thế thế mới mang nguyên tắc tìm tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm bằng phương pháp tính đạo hàm. Nếu như bạn từng làm gà chọi thi ĐH, mấy dòng mình nói ra ở trên đây có lẽ rằng quá quen thuộc với chúng ta rồi.

Các bạn đang xem: Partial derivative là gì

Đạo hàm như vậy là đạo hàm thường thì (ordinary derivative).

Đạo hàm riêng (partial derivative) cũng sinh hoạt trên nguyên tắc tương tự.

*

Đồ thị hàm (z = f(x, y) = x^3y^2).

Đạo hàm riêng theo biến (y), ký hiệu là (f_y) hoặc (frac{partial z}{partial y}) sẽ được tính tương tự đạo hàm thông thường nếu ta xem toàn bộ những biến khác (y) là hằng số. Với đạo hàm thường ta sử dụng chữ (d), đạo hàm riêng ta sử dụng chữ (partial) (đọc là “del” hoặc “partial”).

<frac{partial z}{partial y} = 2x^3yvàgt;

Lúc xem (x) là hằng số, mình sẽ sử dụng một mặt phẳng, ví dụ điển hình (x=1), để cắt đồ thị (z=x^3y^2).

*

Đồ thị hàm (z = f(x, y) = x^3y^2).

để lại giao tuyến là đường (1^3y^2=y^2)

Tiện lợi của việc sử dụng đạo hàm riêng là mình thậm chí quan sát được sự biến động của hàm lúc chỉ thay đổi một biến và không thay đổi những thông số kỹ thuật input còn sót lại. Để sở hữu khá đầy đủ thông tin về vận tốc thay đổi đó, chúng ta cần phải ghi nhận những biến được không thay đổi là biến nào và mang giá trị không thay đổi bằng mấy, sau đó thay những giá trị này vào.

Theo ví dụ trên thì:

Đạo hàm riêng theo biến (y) của đại lượng (z) lúc (x=1) là (2y). Tại điểm (x=1, y=2) trên mặt phẳng (z=f(x,y)), đạo hàm riêng theo biến (y) bằng (2y = 2times 2 = 4). Tức là tại điểm đó, nếu khách hàng không thay đổi (x) và dịch chuyển (y) một lượng rất nhỏ bằng (partial y) thì đại lượng (z) cũng sẽ thay đổi một lượng, nhưng cấp tốc 4 lần (partial y) mà chúng ta thay đổi với (y). Chính vì thế vậy ta viết (frac{partial z}{partial y} = 4).

Gradient của hàm (f(textbf{v})) với (textbf{v} = (v_1, v_2, …, v_n)) là một vector:

<nabla f = leftvàlt;begin{array}{c} frac{partial f}{partial v_1} frac{partial f}{partial v_2} dots frac{partial f}{partial v_n} end{array}rightvàgt;>

Mình ko biết dịch “directional derivative” ra tiếng Việt ra sao nên dịch thô thiển như vậy thôi. Đạo hàm mang hướng mang nhiều ý nghĩa và tác dụng không giống nhau, trong bài này chỉ nói đến việc việc mô tả vận tốc thay đổi của hàm.

Xem thêm: Phụ thân Mẹ Đơn Thân Là Gì ? Những Kiểu Mẹ Đơn Thân Tân Thời Mẹ Đơn Thân

Đạo hàm mang hướng là một dạng tổng quát của đạo hàm riêng. Nếu đạo hàm riêng chỉ thậm chí xét cho sự thay đổi của một biến thì đạo hàm mang hướng xét sự thay đổi của nhiều biến.

Mình sẽ nhóm những biến vào trong 1 vector, tức là thay vì thế ghi (z=f(x,y)) thì ghi (z=f(textbf{v})) và ngầm hiểu (textbf{v}=leftvàlt;begin{array}{c}x yend{array}rightvàgt;).

Do mình mang 2 biến (x, y) nên không khí input của tớ sẽ là mặt phẳng. Không khí output của hàm (f) là một tia số. Hàm (f) làm trách nhiệm “nối” một điểm trong không khí input tới một điểm trong không khí output, chúng ta cứ tạm tưởng tượng tương tự ánh xạ vậy nhé.

Giả sử mình mang một vector (textbf{w}), thắc mắc đưa ra là nếu điểm trong không khí input của tớ bị đẩy lệch đi phần nào theo chiều của vector (textbf{w}), thì điểm trong không khí output của tớ sẽ bị lệch đi bao nhiêu lần?

Quan sát hình sau. Hai điểm cùng màu là một bộ input-output tương ứng nhau cho hàm (f). Ví dụ ở phía bên trái, điểm red color ((1,2)) làm input thì sẽ cho điểm red color ở ảnh phải mang giá trị (f(x,y)=x^3y^2=4). Lúc này nếu trong hình trái, mình dời điểm red color sang trọng vị trí điểm màu xanh theo hướng (chỉ hướng thôi nhé, còn {khoảng cách} được quyết định bởi (hrightarrow 0)) của (textbf{w}=(1,3)), thì ở hình phía bên phải độ dời đó sẽ cấp tốc bao nhiêu lần so với phía bên trái?

*

*

Từ đó nảy sinh ra ký hiệu (frac{partial f}{partial textbf{w}}), hoặc (nabla_{textbf{w}}f(textbf{v})) và đạo hàm mang hướng. Nếu như bạn tóm được cách tính đạo hàm thông thường, khỏe mạnh cách tính sau sẽ không tồn tại gì đáng sửng sốt:

<frac{partial f}{partial textbf{w}} = nabla_{textbf{w}}f(textbf{v}) = D_{textbf{w}}f(textbf{v}) = lim_{hrightarrow 0}frac{f(textbf{v}+htextbf{w}) – f(textbf{v})}{h} = nabla_{textbf{w}} f(textbf{v}) = nabla fcdottextbf{w}>

Một trong những tài liệu sẽ định nghĩa khác một tí, chỉ xét tới chiều của vector và sử dụng để tính vận tốc thay đổi của hàm:

<nabla_{textbf{w}}f(textbf{v} = nabla_{textbf{w}} f(textbf{v}) = frac{nabla fcdottextbf{w}}{left|left|textbf{w}right|right|}>

Note:À, ừm… này là vì thế để đảm bảo mình luôn luôn xét sự dịch chuyển theo vector đơn vị (vector mang độ dài bằng 1). Nếu như bạn chưa hiểu thì hãy tưởng tượng nhé. Trong ví dụ trên, dù ta lấy (textbf{w}=(1,3)) hay (textbf{w}=(2,6)) chúng ta đều mong muốn (nabla_{textbf{w}}f(textbf{v})) ra một giá trị duy nhất, đúng không ạ? Vì như thế tiềm năng lúc này của đạo hàm hướng là mô tả sự thay đổi của hàm lúc thay đổi input theo một chiều nhất định.

Một trong những người còn xét tới độ to của (textbf{w}) và nghĩ rằng nếu nó càng to thì vận tốc tăng cũng phải to theo. Mình đã mang thử đặt thắc mắc này trên Reddit và trên Quora. Hóa ra là nó tạo sự thuận tiện cho những tính chất khác :)) (“because it’s mathematically convenient!”). Nếu như có dịp mình sẽ nghiên cứu và phân tích sâu thêm mảng này. Tạm thời giờ đây, nếu đơn thuần tính vận tốc hàm thì mình cần sử dụng vector đơn vị, với lý do đã đề cập ở trên.

Theo ví dụ trên thì:

<begin{aligned} nabla_{textbf{w}} f(textbf{v}) &= frac{1}{sqrt{10}}left( 1frac{partial f}{partial x} + 3frac{partial f}{partial y} right) &= frac{1}{sqrt{10}}left( 3x^2y^2 + 6x^3y right)end{aligned}>

Tại những điểm input rõ ràng, chúng ta thậm chí thay vào và tính ra được đạo hàm hướng tại điểm đó, còn gọi là tính độ dốc (slope).

Vận tốc thay đổi của hàm (f):

<nabla_{textbf{w}} f(textbf{v}) = nabla fcdottextbf{w}>

*

Contour map

Tại một điểm input thắt chặt và cố định, hàm (f) tăng nhanh nhất có thể (max) lúc (w) cùng hướng với (nabla f) (tính chất tích vô hướng).

Do đó, người ta gọi gradient là chiều tăng nhanh nhất có thể của hàm (direction of steepest ascent).

Xem thêm: Tâm Trạng Tiếng Anh Là Gì – Tâm Trạng Rối Bời Tiếng Anh Là Gì

Những contour lines nằm sát nhau sẽ sắp như tuy vậy tuy vậy và cách nhanh nhất có thể dịch chuyển giữa hai đường tuy vậy tuy vậy là qua đường vuông góc chung. Cách đi này trùng với hướng gradient, hệ quả là, gradient luôn luôn vuông góc với những đường contour lines.

Thể loại: Tổng hợp

Về Viettingame.com

Viettingame.com - Chuyên trang web tổng hợp những thông tin hữu ích trên internet như thông tin về game, tin tổng hợp
Xem tất cả các bài viết của Viettingame.com →

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.