Tiệm cận là một chủ đề quan trọng trong số bài toán hàm số THPT. Vậy quan điểm tiệm cận là gì? Cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang tiệm cận xiên? Cách tìm tiệm cận hàm số chứa căn? Cách bấm máy tìm tiệm cận?… Trong nội dung nội dung nội dung bài viết dưới phía trên, a.viettingame.vn sẽ hỗ trợ cho chính mình tổng hợp kiến thức và kỹ năng và kỹ năng về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!.
Mục lục
1 Định nghĩa tiệm cận là gì?3 Cách tìm tiệm cận của hàm số3.1 Cách tìm tiệm cận ngang3.2 Cách tìm tiệm cận đứng3.3 Cách tìm tiệm cận xiên4 Cách tìm tiệm cận nhanh6 Tìm hiểu cách tìm tiệm cận của hàm số chứa căn7 Bài tập cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang
Định nghĩa tiệm cận là gì?
Tiệm cận ngang là gì?
Đường thẳng ( y=y_0 ) được gọi là tiệm cận ngang của hàm số ( y=f(x) ) nếu:
(lim_{xrightarrow +infty}y=y_0) hoặc (lim_{xrightarrow -infty}y=y_0)
Tiệm cận đứng là gì?
Đường thẳng ( x=x_0 ) được gọi là tiệm cận đứng của hàm số ( y=f(x) ) nếu ít nhất một trong số ĐK sau vừa lòng:
(leftvàlt;begin{array}{l} lim_{xrightarrow x_0^{-}}y=+infty lim_{xrightarrow x_0^{+}}y=+infty lim_{xrightarrow x_0^{-}}y=-infty lim_{xrightarrow x_0^{+}}y=-inftyend{array}right.)
Tiệm cận xiên là gì?
Đường thẳng ( y=ax_b ) được gọi là tiệm cận xiên của hàm số ( y=f(x) ) nếu:
(lim_{xrightarrow +infty}|f(x)-(ax+b)| = 0) hoặc (lim_{xrightarrow -infty}|f(x)-(ax+b)| = 0)
Dấu hiệu nhận thấy tiệm cận đứng tiệm cận ngang
Hàm phân thức lúc nghiệm của mẫu ko là nghiệm của tử với tiệm cận đứng.Hàm phân thức lúc bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu với tiệm cận ngang.Hàm căn thức với dạng như sau thì sẽ có được tiệm cận ngang (Dạng này sử dụng liên hợp để giải).
Chúng ta đang xem: Tiệm cận đứng là gì
Cách tìm tiệm cận của hàm số
Cách tìm tiệm cận ngang
Để tìm tiệm cận ngang của hàm số ( y=f(x) ) thì ta tính (lim_{xrightarrow +infty} y ) và (lim_{xrightarrow -infty} y ). Nếu giới hạn là một trong những thực ( a ) thì đường thẳng ( y=a ) là tiệm cận ngang của hàm số
Ví dụ 1:
Tìm tiệm cận ngang của hàm số (y=frac{x-2}{2x-1})
Cách giải:
TXĐ: (x in mathbb{R} setminus begin{Bmatrix} frac{1}{2} end{Bmatrix})
Ta với:
(lim_{xrightarrow +infty}frac{x-2}{2x-1}=lim_{xrightarrow +infty}frac{1-frac{2}{x}}{2-frac{1}{x}}=frac{1}{2})
(lim_{xrightarrow -infty}frac{x-2}{2x-1}=lim_{xrightarrow -infty}frac{1-frac{2}{x}}{2-frac{1}{x}}=frac{1}{2})
Vậy hàm số với một tiệm cận ngang ( y=frac{1}{2})
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Cách tìm tiệm cận ngang bằng máy tính
Để tìm tiệm cận ngang bằng máy tính, chúng ta sẽ tính sắp đúng giá trị của (lim_{xrightarrow +infty} y ) và (lim_{xrightarrow -infty} y ).
Để tính (lim_{xrightarrow +infty} y ) thì chúng ta tính giá trị của hàm số tại một giá trị ( x ) rất rộng rãi to. Ta thường lấy ( x= 10^9 ). Hậu quả là giá trị sắp đúng của (lim_{xrightarrow +infty} y )
Tương tự, để tính (lim_{xrightarrow -infty} y ) thì chúng ta tính giá trị của hàm số tại một giá trị ( x ) rất nhỏ. Ta thường lấy ( x= -10^9 ). Hậu quả là giá trị sắp đúng của (lim_{xrightarrow -infty} y )
Để tính giá trị hàm số tại một giá trị của ( x ) , ta dung tác dụng CALC trên máy tính.
Ví dụ:
Tìm tiệm cận ngang của hàm số (y= frac{3-x}{3x+1})
Cách giải:
TXĐ: (x in mathbb{R} setminus begin{Bmatrix} frac{-1}{3} end{Bmatrix})
Ta nhập hàm số vào máy tính Casio:
Tiếp theo, ta bấm CALC rồi nhập giá trị ( 10^9 ) rồi bấm dấu “=”. Ta được hậu quả:
Hậu quả này xấp xỉ bằng (-frac{1}{3}). Vậy ta với (lim_{xrightarrow +infty} frac{3-x}{3x+1}= -frac{1}{3} )
Tương tự ta cũng mà thậm chí mang (lim_{xrightarrow -infty} frac{3-x}{3x+1}= -frac{1}{3} )
Vậy hàm số với một tiệm cận ngang là đường thẳng (y=-frac{1}{3})
Cách tìm tiệm cận đứng
Để tìm tiệm cận đứng của hàm số dạng (frac{f(x)}{g(x)}) thì ta làm quy trình như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình ( g(x) =0 )Bước 2: Trong số những nghiệm tìm được ở bước trên, loại những giá trị là nghiệm của hàm số ( f(x) )Bước 3: Những nghiệm ( x_0 ) sót lại thì ta được đường thẳng ( x=x_0 ) là tiệm cận đứng của hàm số
Ví dụ:
Tìm tiệm cận đứng của hàm số (y=frac{x^2-1}{x^2-3x+2})
Cách giải:
Xét phương trình : ( x^2-3x+2=0 )
(Leftrightarrow leftvàlt;begin{array}{l} x=1 x=2end{array}right.)
Nhận thấy ( x=1 ) cũng là nghiệm của phương trình ( x^2-1 =0 )
( x=2 ) ko là nghiệm của phương trình ( x^2-1 =0 )
Vậy ta được hàm số đã cho với một tiệm cận đứng là đường thẳng ( x=2 )
Ví dụ 1: Cách tìm tiệm cận
Ví dụ 2:
Cách tìm tiệm cận đứng bằng máy tính
Để tìm tiệm cận đứng của hàm số dạng (frac{f(x)}{g(x)}) bằng máy tính thì trước hết ta cũng tìm nghiệm của hàm số ( g(x) ) rồi sau đó loại những giá trị cũng là nghiệm của hàm số ( f(x) )
Bước 1: Sử dụng tính năng SOLVE để giải nghiệm. Nếu mẫu số là hàm bậc ( 2 ) hoặc bậc ( 3 ) thì ta thậm chí sử dụng tính năng Equation ( EQN) để tìm nghiệmBước 2: Sử dụng tính năng CALC để thử những nghiệm tìm được với là nghiệm của tử số hay là ko.Bước 3: Những giá trị ( x_0 ) là nghiệm của mẫu số nhưng vẫn ko là nghiệm của tử số thì đường thẳng ( x=x_0 ) là tiệm cận đứng của hàm số.
Ví dụ:
Tìm tiệm cận đứng của hàm số : (y=frac{2x-1-sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6})
Cách giải:
Tìm nghiệm phương trình ( x^2-5x+6=0 )
Trên máy tính Casio Fx 570ES, bấm (Mode rightarrow 5rightarrow 3) để vào công thức giải phương trình bậc ( 2 )
Lần lượt bấm để nhập những giá trị (1rightarrow =rightarrow -5rightarrow=rightarrow 6rightarrow =rightarrow =)
Hậu quả ta được hai nghiệm ( x=2 ) và ( x=3 )
Sau đó, ta nhập tử số vào máy tính:
Bấm CALC rồi thay từng giá trị ( x=2 ) và ( x=3 )
Ta thấy với ( x=2 ) thì tử số bằng ( 0 ) và với ( x=3 ) thì tử số khác ( 0 )
Vậy Tóm lại ( x=3 ) là tiệm cận đứng của hàm số.
Cách tìm tiệm cận xiên
Hàm số (y=frac{f(x)}{g(x)}) với tiệm cận xiên nếu bậc của ( f(x) ) to nhiều hơn bậc của ( g(x) ) một bậc và ( f(x) ) ko chia hết cho ( g(x) )
Nếu hàm số ko phải hàm phân thức thì ta coi như là hàm phân thức với bậc của mẫu số bằng ( 0 )
Sau lúc xác định hàm số với tiệm cận xiên, ta tiến hành tìm tiệm cận xiên như sau :
Bước 1: Rút gọn hàm số về dạng tối giảnBước 2: Tính giới hạn (lim_{xrightarrow +infty}frac{y}{x}=a neq 0) hoặc (lim_{xrightarrow +infty}frac{y}{x}=a neq 0)Bước 3: Tính giới hạn (lim_{xrightarrow +infty}(y-ax)=b) hoặc (lim_{xrightarrow -infty}(y-ax)=b)Bước 4: Tóm lại đường thẳng ( y=ax+b ) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ví dụ:
Tìm tiệm cận xiên của hàm số (y=frac{x^3-4x^2+2x+1}{x^2-x-2})
Cách giải:
Ta với :
(y=frac{x^3-4x^2+2x+1}{x^2+x-2}=frac{(x^2-3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=frac{x^2-3x-1}{x+2})
Nhận thấy bậc của tử số to nhiều hơn một bậc so với bậc của mẫu số. Vậy hàm số với tiệm cận xiên.
(lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2-3x-1}{x(x+2)}=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2-3x-1}{x(x+2)}=1)
(lim_{xrightarrow infty}<frac{x^2-3x-1}{(x+2)}-xvàgt;=lim_{xrightarrow infty}frac{-3x-1}{x+2}=-3)
Vậy đường thẳng ( y=x-3 ) là tiệm cận xiên của hàm số.
Xem thêm: Etf Là Gì? Kinh Nghiệm Đầu Tư Vào Quỹ Etf Tìm Hiểu Về Quỹ Hoán Đổi Danh Mục
Cách tìm tiệm cận xiên bằng máy tính
Chúng ta cũng tuân theo quy trình như trên nhưng thay vì thế như vậy tính (lim_{xrightarrow infty}frac{y}{x}) và (lim_{xrightarrow infty}(y-ax)) thì ta sử dụng tính năng CALC để tính giá trị sắp đúng.
Ví dụ:
Tìm tiệm cận xiên của hàm số (y=frac{1-x^2}{x+2})
Cách giải:
Tìm (lim_{xrightarrow infty}frac{1-x^2}{(x+2)}) bằng phương pháp tính giá trị sắp đúng của tại giá trị ( 10^9 )
Nhập hàm số vào máy tính, bấm CALC ( 10^9 ) ta được:
Giá trị này xấp xỉ ( -1 ). Vậy (lim_{xrightarrow infty}frac{1-x^2}{(x+2)}=-1)
Tương tự, ta sử dụng tính năng CALC để tính (lim_{xrightarrow infty}(frac{1-x^2}{x+2}+x)=2)
Vậy đường thẳng ( y=-x+2 ) là tiệm cận xiên của hàm số.
Cách tìm tiệm cận nhanh gọn
Cách bấm máy tìm tiệm cận
Như phần trên đã hướng dẫn, cách tìm tiệm cận bằng máy tính là cách thường được sử dụng để giải quyết và xử lý và xử lý nhanh gọn những bài toán trắc nghiệm yêu cầu vận tốc cao. Đó cũng này là cách bấm máy tìm tiệm cận nhanh gọn giành cho mình.
Cách xác định tiệm cận qua bảng biến thiên
Một trong những trong những bài toán cho bảng biến thiên yêu cầu chúng ta xác định tiệm cận. Ở những bài toán này thì chúng ta chỉ xác định được tiệm cận đứng, tiệm cận ngang chứ ko xác định được tiệm cận xiên (nếu như mang).
Để xác định được tiệm cận phụ thuộc bảng biến thiên thì chúng ta cần cầm chắc định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang để phân tích dựa trên một trong những Điểm sáng sủa sau phía trên:
Tiệm cận đứng (nếu như mang) là những điểm mà hàm số ko xác định.Tiệm cận ngang (nếu như mang là giá trị của hàm số lúc (xrightarrow infty)
Ví dụ:
Cho hàm số ( f(x) ) với bảng biến thiên như hình vẽ. Hãy xác định những đường tiệm cận của hàm số.
Cách giải:
Tiệm cận ngang:
Ta thấy lúc (xrightarrow +infty) thì (yrightarrow 0). Vậy ( y=0 ) là tiệm cận ngang của hàm số
Hàm số ko xác định tại ( – infty )
Vậy hàm số chỉ với một tiệm cận ngang là ( y=0 )
Tiệm cận đứng:
Ta xét những giá trị của ( x ) mà tại đó ( y ) đạt giá trị ( infty )
Dễ thấy với hai giá trị của ( x ) này là ( x=-2 ) và ( x=0 )
Vậy hàm số với hai tiệm cận đứng là ( x=-2 ) và ( x=0 )
Cách tìm số tiệm cận sớm nhất có thể mà thậm chí
Để xác định số đường tiệm cận của hàm số, ta ghi chú tính chất sau phía trên :
Cho hàm số dạng (y=frac{P(x)}{Q(x)})
Nếu (left{begin{matrix} P(x_0)neq 0 Q(x_0)=0 end{matrix}right.) thì ( x=x_0 ) là tiệm cận đứng của hàm sốNếu bậc của ( P(x) ) nhỏ hơn bậc của ( Q(x) ) thì hàm số với tiệm cận ngang là đường thẳng ( y=0 )Nếu bậc của ( P(x) ) bằng bậc của ( Q(x) ) thì hàm số với tiệm cận ngang là đường thẳng (y=frac{a}{b}) với ( a;b ) lần lượt là hệ số của số hạng với số mũ to nhất của ( P(x);Q(x) )Nếu bậc của ( P(x) ) to nhiều hơn bậc của ( Q(x) ) một bậc và ( P(x) ) ko chia hết cho ( Q(x) ) thì hàm số với tiệm cận xiên là đường thẳng (y=ax+b) với:(a=lim_{xrightarrow infty}frac{P(x)}{xQ(x)})(b=lim_{xrightarrow infty}(P(x)-ax))Nếu bậc của ( P(x) ) to nhiều hơn bậc của ( Q(x) ) từ hai bậc trở lên trên trên thì hàm số ko tồn tại tiệm cận ngang cũng như tiệm cận xiên.
Nhờ vào những tính chất trên, ta thậm chí tính toán hoặc sử dụng cách tìm số đường tiệm cận bằng máy tính như đã nói ở trên để tính toán tìm ra số đường tiệm cận của hàm số.
Ví dụ:
Tìm số đường tiệm cận của hàm số (y=frac{2x+1-sqrt{3x+1}}{x^2-x})
Cách giải:
Ta với:
Mẫu số ( x^2-x ) với hai nghiệm là ( x=0 ) và ( x=1 )
Thay vào tử số, ta thấy ( x=0 ) là nghiệm của tử số còn ( x=1 ) ko là nghiệm
Vậy hàm số với một tiệm cận đứng là ( x=1 )
Dễ thấy bậc của tử số là ( 1 ) còn bậc của mẫu số là ( 2 ). Nhờ vào tính chất chất nêu trên ta với: Hàm số với một tiệm cận ngang là ( y=0 )
Vậy hàm số đã cho với toàn bộ ( 2 ) đường tiệm cận.
Tìm hiểu cách tìm tiệm cận của hàm số chứa căn
Một trong những trong những bài toán yêu cầu tìm tiệm cận của hàm số quan trọng đặc biệt quan trọng như tìm tiệm cận của hàm số toán thời thượng, tìm tiệm cận của hàm số chứa căn. Tùy thuộc vào mỗi bài toán sẽ sở hữu những phương pháp riêng nhưng cơ phiên bản chúng ta vẫn dựa trên quy trình đã nêu ở trên.
Xem thêm: tai game phong van trực tuyến
Cách tìm tiệm cận hàm số căn thức
Với những hàm số dạng (y=sqrt{ax^2+bx+c}) với ( avàgt;0 ) , ta xét giới hạn
(lim_{xrightarrow infty}(sqrt{ax^2+bx+c}-sqrt{a}|x+frac{b}{2a}|)=0)
Từ đó suy ra đường thẳng ( y= sqrt{a}(x+frac{b}{2a}) ) là tiệm cận xiên của hàm số (y=sqrt{ax^2+bx+c}) với ( avàgt;0 )
Ví dụ:
Tìm tiệm cận xiên của hàm số (y=x+1+sqrt{x^2+2})
Cách giải:
Từ công thức trên, ta với:
(lim_{xrightarrow infty}(sqrt{x^2+2}-x)=0)
(Rightarrow lim_{xrightarrow infty}(y-2x-1)=0)
Vậy hàm số đã cho với tiệm cận xiên là đường thẳng ( y=2x+1 )
Cách tìm tiệm cận hàm số phân thức chứa căn
Với những hàm số này, chúng ta vẫn tuân theo quy trình như hàm số phân thức thường thì nhưng cần ghi chú rằng: Bậc của (sqrt
Ví dụ:
Tìm tiệm cận của hàm số (y=frac{xsqrt{2x+5}sqrt{2}x}{sqrt{x+2}-1})
Cách giải:
TXĐ: TXĐ: (x in mathbb{R} setminus begin{Bmatrix} (- infty ; -2 ) end{Bmatrix})
Ta với:
Dễ thấy ( x=-1 ) ko là nghiệm của tử số. Vậy hàm số với tiệm cận đứng ( x=-1 )
Nhận thấy bậc của tử số là (frac{3}{2}), bậc của mẫu số là (frac{1}{2}). Như vậy bậc của tử số to nhiều hơn bậc của mẫu số nên hàm số ko tồn tại tiệm cận ngang.
(lim_{xrightarrow infty}frac{xsqrt{2x+5}}{x(sqrt{x+2}-1)}=sqrt{2})
(lim_{xrightarrow infty}(frac{xsqrt{2x+5}-sqrt{2}x}{sqrt{x+2}-1}-sqrt{2}x)=lim_{xrightarrow infty}frac{x}{(sqrt{2x+5}+sqrt{2x+4})(sqrt{x+2}-1)}=frac{1}{2sqrt{2}})
Vậy hàm số với tiệm cận xiên là đường thẳng (y=sqrt{2}x+frac{1}{2sqrt{2}})
Bài tập cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang
Dạng 1: Bài toán ko chứa tham số
Dạng 2: Bài toán với chứa tham số
Nội dung nội dung bài viết trên phía trên của a.viettingame.vn đã giúp cho chính mình tổng hợp lý thuyết và những phương pháp giải bài tập tiệm cận. Hy vọng những kiến thức và kỹ năng và kỹ năng trong nội dung nội dung bài viết sẽ hỗ trợ ích cho mình trong quy trình học tập và phân tích và phân tích về chủ đề cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang. Chúc chúng ta luôn luôn luôn luôn học tốt!
Thể loại: Tổng hợp
